以弹簧为基础理解机械波的能量_世界简讯

学过高中物理的你，当然知道是下面这样的

【资料图】

其中为倔强系数。如果弹簧的材料和粗细确定，更长的弹簧，倔强系数更小，这个应该很好理解，弹簧越长，拉起来当然就没那么费力了。按此规律，可将倔强系数写成其中是一个常数，取决于弹簧的粗细和材料性质。

那么上面的势能可以写成这里故意拼凑了一个新变量——，即相对伸长量。由于是常量，所以，对某个弹簧（材料、粗细和原长确定），其储存的势能由它的相对伸长量决定。

如果弹簧是被压缩的，只不过，能量表达式也是一样的。

总之，弹簧的相对形变量决定它的势能！

那么，对一段长为的媒质，它所储存的势能也是类似的：取决于它的相对形变量。

你可能认为，这段媒质的中心的偏移量会产生势能，这其实是一种错觉。媒质中各点的绝对偏移量并不一定会形成弹性势能！

想象你手里拿着的一把尺子，假设它现在整体移动一段距离，很显然，整个尺子的重力势能的确变了，但始终没有形变，所以也没有弹性势能！但显然，尺子上各点不是发生了偏移吗？！

所以，从根本上说，只有当内部各点的位移不同，导致各点之间发生相对位移，也就是物质产生了形变时，才会形成弹性势能。

很显然，机械波的媒质就是最好的代表的呀！

对机械波来说，波函数的变量是描述媒质中点的偏移量的。它是位置和时间的函数，换句话说，同时刻不同点的偏移量不一致呀！所以自然会导致各点之间发生相对位移，也就是波的媒质发生形变，这就能导致弹性势能啦！

那么，媒质中的势能随位置变化的规律是怎样的呢？

考虑某个确定的时刻，波表现为一条曲线——波形曲线。

它描绘媒质中各点偏移量随坐标的变化情况，用函数表示为

当位置产生的增量时，偏移量也产生一个增量。

现在分析媒质中一段原长为的质元。

形变前，它的两端坐标分别是和。

形变后，两端点的纵向偏移量分别是和。左端坐标变为+，而右端坐标变为+++。

因此，形变后的媒质的长度是+，绝对伸长量为，故相对原长的相对形变——相对伸长量为

按照前面讲的相对伸长量决定势能的规律，这段原长为的质元现储存的势能为

如果将右侧的移到左边相除，则得到的是该段介质内的平均势能密度，故仿照平均速度到瞬时速度的过渡方式——将时间得到任意时刻的速度，现在考虑无限小的一段介质，上式中的，无穷小量变成微分量，用代替，则得介质中任意点的势能密度为

看到了吧！两个微分相除导致微商，这样就得到导数了。

实际上，考虑任意时刻的情形，是和的函数，故应用偏导符号代替重写为这下好了！谁的导数？偏移量对质元坐标的偏导数，也就是质元的偏移量对坐标的变化率！这不就是波形曲线上某一点切线的斜率吗？

所以，媒质中质元的势能取决于波形曲线上的切线的斜率，斜率绝对值越大，势能越大，绝对值越小，势能就越小。

很显然，波形曲线上，平衡位置处的斜率绝对值最大啊！所以这个位置的势能最大！什么地方斜率为零？当然就是波峰和波谷处，所以这些位置的势能为零！

材料的弹性？对！确切的叫弹性模量。还有呢？这段媒质的粗细？肯定越粗越难对付吧？没错！

弹性模量这个东西，是针对固体来说的，对液体来说，也有相应的那个量。总之，就是物体本身的弹性性质。

假设弹性模量用表示，媒质的粗细，也就是它的底面积用表示，则得据此，上面的势能可表示为这其中，正好就是媒质的体积；而一般来说，弹性模量与波速的关系为其中是密度，根据，上面的势能可写成如果考察一个段媒质的微元，则上式为将波函数对的偏导代入，即得势能的表达式为再看动能部分。

这段介质在振动，所以具有动能。动能很简单，直接按动能的表达式，即

其中是媒质的振动速度——注意，媒质并没有随着波运动！所以这里的不是波速，而是媒质偏移的速度——振动速度，按照速度的定义就是得到动能为

这才发现，质元的动能和势能随位置和时间的变化规律竟然完全一样，用更物理的语言说，它俩是同幅同相变化的，对确定点，二者的值每时刻都完全一致！

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